Back Substitution 方法详解

Back Substitution（回代法）是求解上三角线性方程组的一种经典数值方法。当一个线性系统通过高斯消元法或其他方式被转化为上三角形式后，即可使用回代法从最后一个方程开始，逐个求解未知变量。

什么是上三角方程组？

一个 n 元线性方程组若其系数矩阵为上三角矩阵（即主对角线下方元素全为零），则形式如下：

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁  
        a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂  
                ⋱  
                    aₙₙxₙ = bₙ

Back Substitution 的算法步骤

1. 从第 n 个方程开始，解出 xₙ = bₙ / aₙₙ；
2. 将 xₙ 代入第 n−1 个方程，解出 xₙ₋₁；
3. 重复此过程，直到求出所有变量 x₁ 到 xₙ。

伪代码示例

for i from n downto 1:
    x[i] = b[i]
    for j from i+1 to n:
        x[i] = x[i] - A[i][j] * x[j]
    x[i] = x[i] / A[i][i]

应用场景

Back Substitution 常用于以下场景：

• 高斯消元法的第二阶段
• LU 分解后的求解步骤
• 数值线性代数教学与科研