什么是 Poisson 积分？
Poisson 积分（或称 Poisson 公式）是数学分析中用于求解单位圆盘内 Laplace 方程 的 Dirichlet 问题 的一个重要工具。 它将边界上的已知函数通过一个积分核（称为 Poisson 核）延拓到圆盘内部，从而构造出一个在内部调和、在边界连续且等于给定函数的解。
Poisson 积分公式
设 \( f(\theta) \) 是定义在单位圆周 \( \partial \mathbb{D} \) 上的连续函数，则其在单位圆盘 \( \mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \} \) 内的调和延拓由以下公式给出：
\[ u(r, \theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} P_r(\theta - t) \, f(t) \, dt \]
其中 \( 0 \leq r < 1 \)，\( \theta \in [0, 2\pi) \)，而 \( P_r(\phi) \) 是 Poisson 核，定义为：
\[ P_r(\phi) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\phi + r^2} \]
Poisson 核的性质
- 非负性：对所有 \( r \in [0,1) \) 和 \( \phi \)，有 \( P_r(\phi) \geq 0 \)。
- 归一化：\( \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\phi) \, d\phi = 1 \)。
- 逼近恒等：当 \( r \to 1^- \) 时，\( P_r(\phi) \) 在分布意义下趋于 Dirac delta 函数。
- 调和性：对固定的 \( t \)，\( P_r(\theta - t) \) 作为 \( (r, \theta) \) 的函数是调和的。
应用场景
Poisson 积分在多个领域具有重要价值：
- **偏微分方程**：求解二维 Laplace 方程的 Dirichlet 问题。
- **复分析**：与解析函数的实部、共轭调和函数密切相关。
- **信号处理**：作为低通滤波器的一种连续形式。
- **概率论**：描述布朗运动首次击中单位圆周的分布。
- **物理**：静电势、稳态温度分布等问题的建模。
直观理解
可以将 Poisson 积分看作一种“加权平均”：圆内某点 \( (r, \theta) \) 的函数值 \( u(r, \theta) \) 是边界值 \( f(t) \) 的加权平均， 权重由 Poisson 核 \( P_r(\theta - t) \) 决定——离该点角度越近的边界点，权重越大；且当点趋近边界时，权重集中于对应边界点。