什么是泊松方程？
泊松方程（Poisson Equation）是数学物理中一类重要的二阶线性偏微分方程，广泛应用于静电学、引力场、流体力学、热传导以及图像处理等领域。
∇²φ = f
其中，∇² 是拉普拉斯算子，φ 是待求解的标量场（如电势、温度等），f 是已知的源项函数（如电荷密度、热源等）。当 f = 0 时，方程退化为著名的 拉普拉斯方程。
物理意义
在不同物理背景下，泊松方程具有不同的解释：
- 静电学：描述电势 φ 与电荷密度 ρ 的关系：∇²φ = -ρ/ε₀
- 引力场：描述引力势与质量密度的关系
- 热传导稳态：描述有内热源时的温度分布
- 图像处理：用于图像修复、无缝融合（如泊松图像编辑）
求解方法
泊松方程的解析解仅在简单几何和边界条件下存在。实际应用中多采用数值方法：
- 有限差分法（FDM）：将微分算子离散为网格上的差分格式
- 有限元法（FEM）：适用于复杂几何区域
- 谱方法：高精度，适合周期性边界条件
- 快速傅里叶变换（FFT）：在规则区域上高效求解
现代科学计算软件（如 MATLAB、COMSOL、FEniCS）均内置泊松方程求解器。
简单示例：一维泊松方程
考虑区间 [0, L] 上的一维泊松方程：
d²φ/dx² = -1, φ(0) = φ(L) = 0
其解析解为：
φ(x) = (1/2)x(L - x)
该解呈抛物线形状，常用于验证数值算法的正确性。
延伸阅读
如果您对泊松方程感兴趣，推荐阅读以下内容：
- 《数学物理方法》—— 梁昆淼
- Poisson Image Editing (Pérez et al., 2003)
- MIT OpenCourseWare: Partial Differential Equations